Matrices de Gell-Mann

Les matrices de Gell-Mann, nommées d'après Murray Gell-Mann (1929-2019), sont, en physique des particules, un ensemble de huit matrices 3 x 3 hermitiennes et de trace nulle qui forment une représentation des générateurs du groupe SU(3).

Elles sont notées ${\displaystyle \lambda _{a}}$ et sont par convention données par les huit matrices suivantes :

Elles vérifient les relations suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Tr} \left(\lambda _{a}\lambda _{b}\right)&=2\,\delta _{ab}\\\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2{\rm {i}}\,f_{abc}\lambda _{c}\end{aligned}}}$

où :

• ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Kronecker,
• ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ est la trace,
• ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ est le commutateur,
• ${\displaystyle {\rm {i}}}$ est l'unité imaginaire ${\displaystyle \left({\rm {i}}^{2}=-1\right)}$
• sur un indice double (ici ${\displaystyle c}$), une sommation est à effectuer (convention d'Einstein).

La première relation exprime que les matrices sont orthogonales et normées. La deuxième avec le commutateur contient les constantes de structure dont les valeurs sont :

• ${\displaystyle f_{123}=1}$,
• ${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}$,

et

• ${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

A noter que ${\displaystyle f_{abc}}$ est totalement antisymétrique par rapport aux trois indices, donc p.ex., ${\displaystyle f_{123}=-f_{132}=f_{231}}$.

Voir aussi

• Matrices de Pauli
• Classification des mésons et baryons (nommée la « voie octuple » par Murray Gell-Mann)
• Matrice de Dirac

Bibliographie

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll. / sciences, janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Gell-Mann (matrices de), p. 335, col. 2col. 2&rft.tpages=1 vol., X-956&rft_id=info:oclcnum/1022951339&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Matrices de Gell-Mann">.

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